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[수학] 최소자승법 활용법

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작성일 23-03-11 02:30

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이 최소가 되도록 하는 함수 f(x)를 구하는 것이 최소자승법의 원리이다.최소자승법이란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다아

위의 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자.이 직선이 최적의 함수라면, 이 차이가 가능한 한 최소의 값을 가질 것이다.실험을 N회 반복하여 (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn)의 데이터를 확보했다고 하자.이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다.(이 편차를 그대로 더하면 양의 값과 음의 값의 합이 되기 때문에 적합한 결과를 얻지 못한다. 즉, 이 함수는 (측정(測定) 값-함수값)²의 총합(오차의 총합)이 최소가 되는 직선이라고 할 수 있다아

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설명

수학,최소자승법 활용법

●최소자승법 (Method of Least Squares) 이란? N회 측정(測定) 한 측정(測定) 값 y1,y2,...,yn이 어떤 다른 측정(測定) 값 x1,x2,...xn 의 함수라고 추정할 수 있을 때,측정(測定) 값 yi와 함수값 f(xi)의 차이를 제곱한 것의 합

일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며,그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다.또한 절대값을 사용할 경우, 추후 미분계수 계산 시 문제가 발생할 수 있다아)편차 제곱의 총합 χ²를 오차(Residual)라고 하며, 다음과 같이 표현된다아

일반적으로 어떤 실험을 행할 때, 변량 x (독립변수 Independent Variable)를 변경해가며,그에 따른 실험값 y (종속변수 Dependent Variable)의 쌍 (x,y)을 얻는다.상관관계를 함수로 표현된다면, 이 實驗(실험)에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라.라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 formula(공식)이 탄생하는 것이다.최소자승법은 이 편차의 제곱을 최소화하기 위한 방법이다.

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다.이렇게 해서 구해진 함수 y=f(x)는 이 측정(測定) 값들의 관계에 가장 적합한 함수라고 할 수 있다아 이해를 돕기 위해 다음의 그림을 살펴보자.다음의 그림에서 표시된 각 점들은 측정(測定) 값 (xi,yi)이고, 직선 (xi,f(xi))은 최소자승법을 사용해 구한, 측정(測定) 값들의 분포를 가장 잘 나타내는 일차함수이다.실험을 N회 반복하여 (x1,y1), (x2,y2), ... (xn,yn)의 데이터를 확보했다고 하자.이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다.

따라서, 데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야할 작업은,두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다.

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